Номер 1023 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1023.
Подберите такие значения а и b, при которых система уравнений
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, когда две линейные уравнения задают параллельные, совпадающие или пересекающиеся прямые. Посмотри на пропорциональность коэффициентов перед х и у, а также на свободные члены.
Решение по шагам
Система уравнений имеет разные решения в зависимости от коэффициентов. Посмотрим, как это работает.
Обозначим систему: 2х + 3у = 5 ах + by = c
1) Бесконечно много решений
Это происходит, когда второе уравнение — точная копия первого (или отличается только на множитель).
Умножим первое уравнение на любое число, например на 2: 2х + 3у = 5 4х + 6у = 10
Значит: а = 4, b = 6, c = 10
Проверка: 4х + 6у = 10 — это то же самое, что 2х + 3у = 5 (разделим на 2).
2) Единственное решение
Это происходит, когда прямые не параллельны, то есть коэффициенты не пропорциональны.
Например: а = 1, b = 1, c = 3
Система: 2х + 3у = 5 х + у = 3
Проверка: коэффициенты 2/1 ≠ 3/1, значит прямые пересекаются в одной точке.
3) Нет решений
Это происходит, когда прямые параллельны, но не совпадают (коэффициенты при х и у пропорциональны, но свободные члены нет).
Умножим первое уравнение на 2, но изменим только правую часть: 2х + 3у = 5 4х + 6у = 15
Значит: а = 4, b = 6, c = 15
Проверка: коэффициенты пропорциональны (4/2 = 6/3 = 2), но 15/5 ≠ 2, поэтому решений нет.