Номер 993 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 993.
Представьте в виде многочлена:
а) (x + y + 1)(x + y − 1);
б) (m + n − 3)(m + n + 3);
в) (a − b − 5)(a − b + 5);
г) (c − d + 8)(c − d − 8);
д) (p + 2q − 3)(p − 2q − 3);
е) (a − 3x + 6)(a + 3x + 6).
💡 Подсказка (без ответа)
Заметьте, что в каждом выражении есть две одинаковые части и одна противоположная. Используйте формулу (A − B)(A + B) = A² − B², где A — одинаковая часть, B — противоположная. Сначала обозначьте одинаковую часть буквой, примените формулу, потом раскройте скобки в квадрате.
Решение по шагам
Решаем по формуле разности квадратов (A - B)(A + B) = A² - B². Для этого нужно заметить, одинаковую часть и противоположную.
а) (x + y + 1)(x + y − 1)
Обозначим x + y = A, тогда: (A + 1)(A − 1) = A² − 1² = A² − 1
Подставляем обратно: = (x + y)² − 1 = x² + 2xy + y² − 1
б) (m + n − 3)(m + n + 3)
Обозначим m + n = A, тогда: (A − 3)(A + 3) = A² − 9
Подставляем обратно: = (m + n)² − 9 = m² + 2mn + n² − 9
в) (a − b − 5)(a − b + 5)
Обозначим a − b = A, тогда: (A − 5)(A + 5) = A² − 25
Подставляем обратно: = (a − b)² − 25 = a² − 2ab + b² − 25
г) (c − d + 8)(c − d − 8)
Обозначим c − d = A, тогда: (A + 8)(A − 8) = A² − 64
Подставляем обратно: = (c − d)² − 64 = c² − 2cd + d² − 64
д) (p + 2q − 3)(p − 2q − 3)
Переписываем как (p − 3 + 2q)(p − 3 − 2q)
Обозначим p − 3 = A, тогда: (A + 2q)(A − 2q) = A² − 4q²
Подставляем обратно: = (p − 3)² − 4q² = p² − 6p + 9 − 4q²
е) (a − 3x + 6)(a + 3x + 6)
Переписываем как (a + 6 − 3x)(a + 6 + 3x)
Обозначим a + 6 = A, тогда: (A − 3x)(A + 3x) = A² − 9x²
Подставляем обратно: = (a + 6)² − 9x² = a² + 12a + 36 − 9x²
Редакция 2019
№ 993.
Докажите, что функция, заданная формулой у = (2х − 5)(3 + 8х) − (1 − 4х)2, линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка А(−1; 10)? точка В(0; 16)?
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой обе скобки по правилам умножения многочленов и формуле квадрата разности. Потом привели подобные слагаемые — должно остаться только х в первой степени. Затем подставь координаты каждой точки в упрощённую формулу и проверь, верно ли равенство.
Решение по шагам
Нужно доказать, что функция линейная, то есть привести её к виду y = kx + b.
Шаг 1. Раскроем первые скобки (2х − 5)(3 + 8х)
(2х − 5)(3 + 8х) = 2х · 3 + 2х · 8х − 5 · 3 − 5 · 8х = 6х + 16х² − 15 − 40х = 16х² − 34х − 15
Шаг 2. Раскроем вторые скобки (1 − 4х)²
(1 − 4х)² = 1² − 2 · 1 · 4х + (4х)² = 1 − 8х + 16х²
Шаг 3. Подставим в исходную формулу
у = (16х² − 34х − 15) − (1 − 8х + 16х²)
у = 16х² − 34х − 15 − 1 + 8х − 16х²
Шаг 4. Приведём подобные члены
у = (16х² − 16х²) + (−34х + 8х) + (−15 − 1)
у = 0 + (−26х) + (−16)
у = −26х − 16
Это формула вида y = kx + b, где k = −26 и b = −16. Функция линейная!
Проверим точку А(−1; 10):
Подставим х = −1 в формулу:
у = −26 · (−1) − 16 = 26 − 16 = 10
Получили у = 10. Это совпадает с координатой точки. Точка А принадлежит графику.
Проверим точку В(0; 16):
Подставим х = 0 в формулу:
у = −26 · 0 − 16 = 0 − 16 = −16
Получили у = −16, а не 16. Точка В не принадлежит графику.