Задание 18: Задача с параметром

Типичные формулировки:

• «Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение (неравенство, система) имеет ровно один корень (хотя бы одно решение, ровно два решения)»;
• «Найдите все значения $a$, при которых множество решений неравенства является лучом (отрезком, объединением двух промежутков)»;
• «При каких $a$ система имеет единственное решение»;
• «Найдите все значения параметра, при которых уравнение имеет решение на заданном отрезке».

…

• Определение модуля и его свойства: $|a|=|-a|$, $|a+b|\le|a|+|b|$, а также ключевой факт: $|x-p|+|x-q|=|p-q|$ тогда и только тогда, когда $x$ лежит между $p$ и $q$ (иначе сумма строго больше).
• ОДЗ уравнений и неравенств: знаменатель $\ne 0$, подкоренное выражение $\ge 0$.
• Дискриминант квадратного трёхчлена $D=b^2-4ac$, теорема Виета $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Условия расположения корней квадратного трёхчлена $f(x)=ax^2+bx+c$ относительно точки $x_0$ или отрезка $[m;n]$ («метод трёх условий»: знак $a$, значение $f(x_0)$, положение вершины $-\dfrac{b}{2a}$, знак дискриминанта).
• Неравенство о средних: для $x>0,\,a\in\mathbb R$ выполняется $x+\dfrac{a^2}{x}\ge 2|a|$, равенство при $x=|a|$.
• Уравнение окружности $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ и формула расстояния $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
• Понятие монотонности функции и то, как из неё следует единственность решения уравнения $f(x)=c$.
• Чётность/нечётность: если уравнение зависит от $x$ через $x^2$ или $|x|$, области значений симметричны, что часто позволяет ограничиться неотрицательными значениями.

1. Найти область допустимых значений переменной: знаменатели $\ne0$, подкоренные выражения $\ge0$.
2. Упростить уравнение или неравенство: раскрыть модуль по промежуткам, разложить многочлен на множители, при необходимости ввести замену переменной.
3. По возможности выразить параметр через переменную — тогда задача сводится к исследованию функции $a=f(x)$ (метод обратной функции).
4. Рассмотреть особые случаи отдельно: обращение коэффициента при старшей степени в ноль, деление на выражение с параметром, значения, при которых знаменатель обращается в ноль.
5. Применить подходящий метод (координаты $(x,a)$, монотонность, оценка, симметрия) для определения множества значений параметра.
6. Сформулировать ответ и проверить граничные значения подстановкой в исходное уравнение — часто именно они «выпадают» из-за ОДЗ.