Расположение корней квадратного трёхчлена в задаче 18 ЕГЭ

О чём эта подтема

Большая часть задач 18 после всех преобразований сводится к одному и тому же объекту — квадратному трёхчлену $f(x)=Ax^2+Bx+C$, где коэффициенты зависят от параметра $a$. Условие задачи (уравнение не имеет корней, неравенство верно на отрезке, корни разных знаков и т. п.) нужно перевести на язык расположения корней этого трёхчлена относительно чисел, интервалов или друг друга.

Сложность не в вычислениях, а в переводе словесного условия в систему неравенств на $D$, значения трёхчлена в контрольных точках и положение вершины параболы. Именно эта подтема учит «читать» параболу и говорить о ней формально — через дискриминант, знак старшего коэффициента и знак функции в нужных точках.

Важная особенность: в реальных задачах трёхчлен редко дан в чистом виде. Он появляется после замены переменной (например, $t=\sin x$), возведения в квадрат уравнения с корнем, приведения дроби к общему знаменателю. Поэтому наравне с теорией о расположении корней нужно уверенно делать такие преобразования и следить за областью допустимых значений новой переменной.

Что нужно знать

Базовые объекты. Квадратный трёхчлен $f(x)=Ax^2+Bx+C$ ($A\neq 0$) задаёт параболу с вершиной в точке $x_0=-\dfrac{B}{2A}$ и дискриминантом $D=B^2-4AC$. Ветви направлены вверх при $A>0$ и вниз при $A<0$.

Число корней. Если $D>0$ — два различных корня, $D=0$ — один (кратный), $D<0$ — действительных корней нет.

Теорема Виета. Для $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p,\;x_1x_2=q$. Она удобна, когда нужно узнать знаки корней без явного их нахождения.

Расположение корней относительно точки $m$. Пусть $A>0$. Тогда:

• оба корня больше $m$ $\iff$ $D\ge 0,\; f(m)>0,\; x_0>m$;
• оба корня меньше $m$ $\iff$ $D\ge 0,\; f(m)>0,\; x_0<m$;
• один корень меньше $m$, другой больше $\iff$ $f(m)<0$ (при $A>0$ этого одного условия достаточно, дискриминант автоматически положителен);
• $m$ лежит между корнями строго — то же самое, что предыдущий пункт;
• ровно один корень попадает в интервал $(m_1,m_2)$ — обычно через $f(m_1)\cdot f(m_2)<0$;
• оба корня в интервале $(m_1,m_2)$ — через $D\ge0$, $f(m_1)>0$, $f(m_2)>0$ и $m_1<x_0<m_2$.

Если $A<0$, все неравенства на $f(m)$ меняют знак — проще всего домножить трёхчлен на $-1$, чтобы работать со старшим коэффициентом $+1$, и потом не путаться со знаками.

Отсутствие корней в области. Условие «уравнение (или его следствие) не имеет корней при $x\ge x_0$» разбивается на два случая: либо у трёхчлена вообще нет действительных корней ($D<0$), либо корни есть, но оба лежат вне указанной области. Забыть про случай $D<0$ — самая частая потеря решений.

Знак трёхчлена на отрезке. Если требуется, чтобы неравенство вида $f(t)<0$ (или $>0$) выполнялось для всех $t$ из отрезка $[m_1,m_2]$, а не в отдельной точке, используется выпуклость параболы: при $A>0$ максимум функции на отрезке достигается на одном из концов, поэтому достаточно проверить неравенство в точках $m_1$ и $m_2$. Это тот же аппарат — просто применённый не к корням, а к значениям функции.

Замены переменной. Если задача — тригонометрическая или иррациональная, чаще всего вводится замена ($t=\sin x$, $t=\sqrt{x}$ и т. д.). Обязательно нужно определить, какой отрезок значений принимает новая переменная, и все условия формулировать именно для неё.

Как решать: метод и алгоритм

1. Свести задачу к квадратному трёхчлену. Выполнить все алгебраические/тригонометрические преобразования, при необходимости — замену переменной. Обязательно зафиксировать область допустимых значений исходной переменной и то, во что она переходит после замены.

2. Сформулировать условие на языке расположения корней. Перечитать текст задачи и понять, что должно быть верно: нет корней в некоторой области, корни разных знаков, все значения функции на отрезке одного знака и т. д. На этом шаге полезно нарисовать эскиз параболы.

3. Выбрать нужную схему условий. Определить знак старшего коэффициента $A$ (он может зависеть от параметра!), затем — какая из типовых конфигураций (из раздела «Что нужно знать») соответствует условию задачи.

4. Записать систему неравенств на $D$, значения трёхчлена в контрольных точках и положение вершины (если оно нужно).

5. Решить систему относительно параметра, аккуратно объединяя или пересекая множества решений отдельных неравенств, учитывая исходные ограничения (ОДЗ параметра, если оно есть).

6. Проверить результат на границах и хотя бы на одном контрольном значении параметра, подставив его в исходное уравнение или неравенство.

Разбор примера

Пример 1

Найти все значения $a$, при которых множество решений неравенства $$\frac{a-(a^2-2a-3)\sin x+4}{1{,}5+0{,}5\cos 2x+a^2}<1$$ содержит отрезок $\left[-2\pi;\,-\dfrac{7\pi}{6}\right]$.

Шаг 1. Упрощение знаменателя. Используем $\cos 2x=1-2\sin^2x$: $$1{,}5+0{,}5\cos 2x+a^2=1{,}5+0{,}5-\sin^2x+a^2=2-\sin^2x+a^2.$$ Поскольку $\sin^2x\le1$, знаменатель $\ge a^2+1>0$ при любых $a$ — он всегда положителен, значит неравенство можно умножать на него без смены знака.

Шаг 2. Замена. Пусть $t=\sin x$. Неравенство принимает вид $$a-(a^2-2a-3)t+4<2-t^2+a^2,$$ $$t^2-(a^2-2a-3)t+(a-a^2+2)<0.$$ Обозначим $f(t)=t^2-bt+c$, где $b=a^2-2a-3=(a-3)(a+1)$, $c=a-a^2+2=-(a-2)(a+1)$.

Шаг 3. Область значений $t$ на заданном отрезке $x$. На отрезке $x\in[-2\pi,-7\pi/6]$ синус имеет тот же набор значений, что и на $x+2\pi\in[0,5\pi/6]$ (то есть $[0^\circ,150^\circ]$). На этом промежутке $\sin x$ растёт от $0$ до $1$ и убывает до $0{,}5$, поэтому множество значений — весь отрезок $t\in[0,1]$.

Шаг 4. Перевод условия. «Отрезок содержится в решении» означает: для всех $t\in[0,1]$ должно выполняться $f(t)<0$. Так как $A=1>0$, парабола выпукла вниз, и максимум на отрезке $[0,1]$ достигается на одном из концов. Значит достаточно потребовать $f(0)<0$ и $f(1)<0$.

Шаг 5. Условие $f(0)<0$: $$c=a-a^2+2<0\;\Leftrightarrow\;a^2-a-2>0\;\Leftrightarrow\;(a-2)(a+1)>0\;\Leftrightarrow\;a<-1\ \text{или}\ a>2.$$

Шаг 6. Условие $f(1)<0$: $$f(1)=1-b+c=1-(a^2-2a-3)+(a-a^2+2)=-2a^2+3a+6<0,$$ $$2a^2-3a-6>0\;\Rightarrow\;a=\frac{3\pm\sqrt{9+48}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}.$$ Значит $a<\dfrac{3-\sqrt{57}}{4}$ или $a>\dfrac{3+\sqrt{57}}{4}$.

Шаг 7. Пересечение условий. Численно $\dfrac{3-\sqrt{57}}{4}\approx-1{,}14$, $\dfrac{3+\sqrt{57}}{4}\approx2{,}64$. Оба этих значения лежат строго внутри областей, найденных на шаге 5 ($-1{,}14<-1$ и $2{,}64>2$), поэтому пересечение двух условий совпадает с более узким из них — условием $f(1)<0$.

Ответ: $a<\dfrac{3-\sqrt{57}}{4}$ или $a>\dfrac{3+\sqrt{57}}{4}$ — совпадает с эталонным ответом.

Пример 2

Найти все $a$, при которых уравнение $\sqrt{2x^2+ax+2a+10}=x-1$ не имеет действительных корней.

Шаг 1. ОДЗ по правой части. Так как левая часть неотрицательна, обязательно $x-1\ge0$, то есть $x\ge1$.

Шаг 2. Возведение в квадрат. При $x\ge1$ уравнение равносильно $$2x^2+ax+2a+10=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$ $$x^2+(a+2)x+2a+9=0.$$ Обозначим $f(x)=x^2+(a+2)x+2a+9$ (ветви вверх, $A=1$).

Шаг 3. Перевод условия. Исходное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда у $f(x)=0$ нет корней на луче $x\ge1$. Это возможно в двух случаях: либо у $f$ вообще нет действительных корней ($D<0$), либо корни есть, но оба меньше $1$.

Шаг 4. Случай $D<0$. $$D=(a+2)^2-4(2a+9)=a^2+4a+4-8a-36=a^2-4a-32.$$ $$a^2-4a-32<0\;\Rightarrow\;a=\frac{4\pm\sqrt{16+128}}{2}=\frac{4\pm12}{2}=8\ \text{или}\ -4.$$ Значит $D<0$ при $-4<a<8$.

Шаг 5. Случай «оба корня меньше 1» (при $D\ge0$, т.е. $a\le-4$ или $a\ge8$). Нужны условия $f(1)>0$ и $x_0<1$. $$f(1)=1+(a+2)+2a+9=3a+12>0\;\Rightarrow\;a>-4.$$ $$x_0=-\frac{a+2}{2}<1\;\Rightarrow\;a>-4.$$ Совместно с $D\ge0$ ($a\le-4$ или $a\ge8$) остаётся только $a\ge8$ — при этих значениях оба неравенства выполняются автоматически.

Шаг 6. Объединение случаев. $D<0$ даёт $-4<a<8$; второй случай даёт $a\ge8$. Их объединение — $a>-4$.

Ответ: $a>-4$ — совпадает с эталонным.

Оба примера показывают одну и ту же логику: свести задачу к квадратному трёхчлену, аккуратно учесть область допустимых значений переменной (диапазон $t=\sin x$ или условие $x\ge1$), а затем применить стандартную схему расположения корней или знака функции на отрезке.

Типичные ошибки

• Забыть про случай $D<0$. Когда условие «нет корней в области» разбивается на «корней нет вообще» и «корни есть, но не там», часто теряют первую ветвь и получают более узкий (неверный) ответ.
• Не учесть ОДЗ после возведения в квадрат. Уравнение с корнем даёт квадратное уравнение, но забытое условие $x\ge1$ (или аналогичное) полностью меняет смысл задачи — можно случайно посчитать «отсутствие корней» неправильно.
• Перепутать знак $f(m)$. Условие «$m$ между корнями» и «$m$ вне интервала между корнями» отличаются только знаком неравенства $f(m)$; ошибка в знаке даёт противоположный по смыслу ответ.
• Не заметить зависимость знака $A$ от параметра. Если старший коэффициент содержит параметр, при его смене знака все неравенства на $f(m)$ переворачиваются — нужно либо рассмотреть случаи отдельно, либо сразу привести трёхчлен к виду со старшим коэффициентом $1$.
• Проверять условие только в одной точке отрезка, когда нужно во всех. Если задача требует выполнения неравенства на всём отрезке значений новой переменной, а не в одной точке, использовать всего одну контрольную точку — грубая ошибка; нужно проверять оба конца (в силу выпуклости параболы).
• Неверно определить диапазон новой переменной при замене. Ошибка в вычислении множества значений $\sin x$, $\cos x$ или другой функции на заданном промежутке аргумента сразу искажает всю дальнейшую систему неравенств.
• Путать строгие и нестрогие неравенства на границах — это часто приводит к потере или добавлению отдельных значений параметра в ответе.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как писать систему неравенств, обязательно нарисуйте эскиз параболы и отметьте на оси нужные точки — это сразу подсказывает, какие условия ($D$, $f(m)$, положение вершины) реально требуются, и экономит время на переборе неверных случаев.

Всегда фиксируйте письменно область допустимых значений — и исходной переменной, и введённой замены. Потерянное ограничение вида $x\ge1$ или диапазон $t\in[0,1]$ обесценивает всю остальную выкладку.

Если задача формулируется как «не имеет корней в области» или «имеет корень в области», сразу выписывайте оба альтернативных случая (нет корней вовсе / корни есть, но не там) — не пытайтесь угадать, какой из них единственный.

После получения ответа подставьте одно значение параметра из найденного множества и одно — не из него, и проверьте на исходном (не преобразованном) условии задачи. Это быстрый способ отловить ошибку в знаке или в объединении случаев.

Следите за тем, меняется ли знак старшего коэффициента параболы в зависимости от параметра — если да, разбивайте решение на случаи по этому знаку в первую очередь, прежде чем применять условия на дискриминант и значения функции.