Неравенства с параметром в задании 18 ЕГЭ: метод и разбор примеров

О чём эта подтема

В линии заданий 18 профильного ЕГЭ регулярно встречаются неравенства с модулями, где нужно найти значения параметра $a$, при которых множество решений образует отрезок заданной длины (чаще всего длины 1, но условие может задавать и другое число). Здесь мало решить неравенство при фиксированном $a$ — нужно исследовать, как меняется структура решения при изменении параметра, и подобрать $a$ так, чтобы решение стало именно отрезком нужной длины: не лучом, не объединением нескольких кусков и не пустым множеством.

Особенность подтемы — сочетание техники раскрытия модулей (кусочно-линейные функции) с параметрическим анализом: точки, где модули меняют знак, сами зависят от $a$, поэтому взаимное расположение этих точек на числовой оси приходится рассматривать отдельными случаями. Это делает задачу длинной по вычислениям, но полностью алгоритмизируемой.

Что нужно знать

1. Определение модуля и способ его раскрытия по знаку подмодульного выражения: $$|f(x)|=\begin{cases}f(x),&f(x)\ge0\\-f(x),&f(x)<0\end{cases}$$

2. Сумма и разность выражений вида $|kx-b|$ образуют кусочно-линейную функцию; график состоит из отрезков прямых, а точки излома — это нули подмодульных выражений, то есть корни уравнений $kx-b=0$.

3. Если под модулями стоят линейные выражения с разными коэффициентами при $x$ (например, $2x-a$ и $x+3$), точки излома равны $x=\dfrac a2$ и $x=-3$, и их взаимное расположение зависит от $a$ — поэтому нужно рассматривать минимум два случая: когда одна точка левее другой и наоборот.

4. На каждом из трёх промежутков, на которые точки излома делят числовую прямую, оба модуля раскрываются однозначно, и неравенство превращается в линейное относительно $x$ — его легко решить и пересечь с промежутком.

5. Итоговое множество решений — объединение решений на всех промежутках. Чтобы оно оказалось отрезком, решения на соседних промежутках должны стыковаться в общей точке излома, а на «крайних» лучевых промежутках решений быть не должно (иначе получится луч, а не отрезок).

6. Длина отрезка — разность правого и левого концов; оба конца выражаются через $a$. Приравняв длину к заданному числу, получаем уравнение относительно $a$.

7. Формула длины, выведенная для конкретного случая расположения точек излома, работает только для тех $a$, при которых этот случай реализуется. Найденное значение параметра обязательно нужно проверить на принадлежность этому диапазону.

Как решать: метод и алгоритм

1. Найдите нули подмодульных выражений — точки $x_1(a)$ и $x_2$ (одна или обе могут зависеть от $a$).

2. Определите, при каких $a$ выполняется $x_1(a)\le x_2$, а при каких $x_1(a)>x_2$ — получите два (иногда больше) случая взаимного расположения точек.

3. В каждом случае разбейте числовую прямую на три промежутка точками $x_1,x_2$ в нужном порядке и на каждом снимите модули по знаку подмодульного выражения.

4. Решите получившееся линейное неравенство на каждом промежутке и пересеките его с самим промежутком — получите частичное решение (отрезок, луч или пусто), зависящее от $a$.

5. Объедините частичные решения по всем трём промежуткам. Зафиксируйте условие на $a$, при котором объединение является одним отрезком (крайние промежутки дают пустое множество, средние стыкуются).

6. Выпишите левый конец $L(a)$ и правый конец $R(a)$ итогового отрезка.

7. Составьте уравнение $R(a)-L(a)=\ell$ (где $\ell$ — заданная длина) и решите его относительно $a$.

8. Проверьте, что найденное значение $a$ принадлежит области, где действует рассмотренный случай, и что при этом $a$ решение действительно является отрезком.

9. Повторите пункты 3–8 для другого случая расположения точек — часто получается второй ответ.

10. Объедините все найденные значения $a$ в окончательный ответ.

Разбор примера

Пример 1. Найдите все значения $a$, при каждом из которых решения неравенства $$|2x-a|+1\le|x+3|$$ образуют отрезок длины 1.

Точки излома. Нули подмодульных выражений: $x=\dfrac a2$ и $x=-3$. Их порядок зависит от $a$: $\dfrac a2\ge-3 \iff a\ge-6$.

Случай A: $a\ge-6$. Промежутки: $(-\infty;-3]$, $[-3;\frac a2]$, $[\frac a2;+\infty)$.

— На $(-\infty;-3]$ после снятия модулей неравенство даёт $x\ge a+4$, что при $a\ge-6$ несовместимо с $x\le-3$ — решений нет.

— На $[-3;\frac a2]$: неравенство даёт $x\ge\dfrac{a-2}{3}$; пересечение с промежутком — отрезок от $\max\!\left(-3,\dfrac{a-2}{3}\right)$ до $\dfrac a2$.

— На $[\frac a2;+\infty)$: неравенство даёт $x\le a+2$; пересечение — отрезок от $\dfrac a2$ до $a+2$, непустой при $a\ge-4$.

При $a\ge-4$ два последних куска стыкуются в точке $\frac a2$, образуя единый отрезок с концами $$L=\dfrac{a-2}{3},\qquad R=a+2.$$ Длина: $R-L=\dfrac{2a+8}{3}$. Приравниваем к 1: $2a+8=3\Rightarrow a=-\dfrac52$. Условие $a\ge-4$ выполнено — значение подходит.

При $-6\le a<-4$ решение — только средний кусок, его длина $\dfrac{a+4}{6}$; приравнивание к 1 даёт $a=2$, что не входит в этот диапазон — отбрасываем.

Случай B: $a<-6$. Аналогичным разбором по промежуткам $(-\infty;\frac a2]$, $[\frac a2;-3]$, $[-3;+\infty)$ получаем, что непустой единый отрезок появляется при $a\le-8$: $$L=a+4,\qquad R=\dfrac{a-4}{3}.$$ Длина: $\dfrac{-2a-16}{3}$. Приравниваем к 1: $a=-\dfrac{19}{2}$; проверка $-9{,}5\le-8$ — подходит.

Ответ: $a=-\dfrac52,\; a=-\dfrac{19}{2}$.

Пример 2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых решения неравенства $$|3x-a|+2\le|x-4|$$ образуют отрезок длины 1.

Точки излома: $x=\dfrac a3$ и $x=4$; порядок зависит от знака $a-12$.

Случай $a\le12$. Разбор по трём промежуткам даёт непустой единый отрезок при $a\le6$ с концами $$L=\dfrac{a-2}{2},\qquad R=\dfrac{a+2}{4}.$$ Длина $=\dfrac{6-a}{4}$; приравнивая к 1, получаем $a=2$ — попадает в диапазон $a\le6$, подходит.

Случай $a>12$. Непустой единый отрезок появляется при $a\ge18$ с концами $$L=\dfrac{a+6}{4},\qquad R=\dfrac{a-6}{2}.$$ Длина $=\dfrac{a-18}{4}$; приравниваем к 1: $a=22$, что удовлетворяет $a\ge18$.

Ответ: $a=2,\; a=22$.

Типичные ошибки

• Рассматривается только один вариант взаимного расположения точек излома — теряется часть корней (как $a=-19/2$ или $a=22$ в примерах выше).
• Неверное раскрытие модуля на границе промежутка из-за путаницы со знаком «$\ge$»/«$>$», из-за чего теряются или добавляются лишние точки.
• Не проверяется, что при найденном $a$ множество решений действительно единственный отрезок, а не пустое множество, луч или объединение двух отрезков.
• Забывают проверить, что найденное значение $a$ принадлежит тому диапазону параметра, для которого выводилась формула длины — в ответ попадает «чужой» корень другого случая.
• Ошибки при алгебраических преобразованиях дробей при вычислении длины отрезка — стоит сразу приводить к общему знаменателю и внимательно раскрывать скобки.
• Путают, какой конец отрезка левый, а какой правый: если разность $R-L$ получается отрицательной, это сигнал об ошибке либо об отсутствии отрезка при данном $a$.

На что обратить внимание на экзамене

Такие задачи одни из самых длинных по вычислениям в варианте, поэтому важно вести решение компактно: сразу выписывать оба случая расположения точек излома в виде короткой схемы «промежуток — знак каждого модуля — линейное неравенство», не расписывая подробные словесные пояснения на каждом шаге. Полезно на черновике схематично изобразить, как ведут себя обе точки излома при изменении $a$ — это помогает не забыть про второй (а иногда третий) случай.

После нахождения кандидатов на $a$ стоит выполнить быструю проверку: подставить найденное значение в исходное неравенство и коротко решить его «в лоб», чтобы убедиться, что решение действительно отрезок нужной длины. Это страхует от арифметических ошибок и от неверно выбранного случая. При оформлении решения на экзамене достаточно чётко зафиксировать оба случая, привести итоговые формулы для $L(a)$ и $R(a)$ и решение уравнения на длину — полный перебор всех промежутков эксперту приводить не обязательно, если логика прозрачна. И главное — не забывайте указывать в ответе все найденные значения параметра: за пропуск одного из корней снимут баллы, даже если метод оформлен верно.