Вариант 5 · Сентябрь 2026 — ЕГЭ по математике (профиль)

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов  и 

Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Ботаника». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Ботаника».

В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

Найдите корень уравнения:

Найдите значение выражения

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/⁠с?

Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле При каком значении угла (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью м/⁠с? Считайте, что ускорение свободного падения м/с

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

На рисунке изображён график функции где a и b  — целые числа. Найдите

Найдите точку минимума функции

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  4 и BC  =   все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребрах AM и AB  — точка F и G соответственно так, что MF  =  BE  =  BG  =  3.

а)  Докажите, что плоскость GEF проходит через точку C.

б)  Найдите длину отрезка, по которому плоскость GEF пересекает грань CMD пирамиды.

Решите неравенство:

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке в размере S тысяч рублей (S  — натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 17,5% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей:

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки C₁ и B₁ соответственно. Оказалось, что BC₁  =  CB₁  =  BC.

а)  Докажите, что точки B, C и середины отрезков BB₁ и CC₁ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми BB₁ и CC₁, если BC  =  8, AB  =  15, AC  =  17.

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет не более трех решений.

Натуральное число будем называть хорошим, если его последняя цифра больше 1 и оно делится на свою последнюю цифру. Частное от деления хорошего числа n на последнюю цифру обозначим n*.

а)  Может ли быть n*  =  18?

б)  Пусть m  — натуральное число. При каких значениях последней цифры числа m существует такое хорошее число n, что n*  =  m?

в)  Натуральное число будем называть отличным, если все его натуральные делители, кроме 1, хорошие числа. Найдите все отличные числа.