Задание 7 ЕГЭ по информатике: хранение и передача изображений, текста, звука

Что проверяет задание

Задание 7 проверяет умение считать объём информации при хранении и передаче данных трёх типов: растровых изображений, текстовых документов и звуковых файлов. Проверяются не факты, а понимание связок между физическими параметрами (разрешение сканирования, частота дискретизации, глубина кодирования, число символов) и итоговым объёмом данных в битах или байтах. Отдельный акцент — расчёт времени передачи файла по каналу связи с заданной пропускной способностью.

Задание часто построено на относительных изменениях: разрешение увеличили в несколько раз, сжатие изменили на определённый процент, пропускную способность канала изменили — и нужно найти, как это отразится на итоговом объёме или времени. Конкретные числовые значения разрешения или частоты часто не нужны сами по себе — важны только коэффициенты изменения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка — текстовая задача на 5–8 строк с описанием ситуации: документ хранится как текст плюс скан, музыкальный файл записан с определёнными параметрами и передан по каналу связи. В конце — вопрос: сколько процентов, секунд или байт составит новое значение.

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — целое число или число без единиц измерения (проценты, секунды, байты), записывается в бланк без пробелов и лишних символов. Задача не требует знания редких терминов, но требует аккуратной работы с пропорциями и процентами — большинство ошибок связано именно с арифметикой, а не с непониманием темы.

Что нужно знать

• Объём растрового изображения без сжатия: $V = M \cdot N \cdot i$, где $M$ и $N$ — количество пикселей по горизонтали и вертикали, $i$ — глубина цвета (бит на пиксель).
• Глубина цвета связана с количеством цветов палитры: $N_{цв} = 2^{i}$, откуда $i = \log_2 N_{цв}$.
• Разрешение сканирования (dpi — точек на дюйм) задаёт число пикселей на единицу длины: $M = dpi \cdot L$, где $L$ — размер стороны листа в дюймах. При увеличении dpi в $k$ раз число точек по каждой стороне растёт в $k$ раз, а значит площадь изображения (число пикселей) растёт в $k^2$ раз.
• Сжатие на $p\%$ означает, что итоговый объём составляет $(1 - p/100)$ от исходного, несжатого объёма.
• Объём текстового документа: $V = K \cdot i$, где $K$ — количество символов, $i$ — объём одного символа в битах (обычно 8 бит для однобайтовых кодировок и 16 бит для UTF-16).
• Объём звукового файла без сжатия: $V = f \cdot t \cdot i \cdot n$, где $f$ — частота дискретизации (Гц), $t$ — длительность звучания (с), $i$ — глубина кодирования (бит на отсчёт), $n$ — число каналов (моно $n=1$, стерео $n=2$).
• Скорость передачи данных (пропускная способность канала) $C$ измеряется в бит/с (или производных единицах). Время передачи файла объёмом $V$: $t = \dfrac{V}{C}$.
• Стандартные соотношения единиц: $1 \text{ байт} = 8 \text{ бит}$, $1 \text{ Кбайт} = 2^{10} \text{ байт}$, $1 \text{ Мбайт} = 2^{20} \text{ байт}$ и аналогично для бит в контексте скорости передачи (Кбит/с, Мбит/с — степени двойки в большинстве заданий ЕГЭ).

Методы решения

1. Метод масштабирования площади при изменении dpi. Если разрешение увеличивается в $k$ раз, объём несжатого изображения увеличивается в $k^2$ раз, потому что растёт число точек и по горизонтали, и по вертикали. Мини-пример: при увеличении dpi с 100 до 200 (в 2 раза) объём скана без сжатия вырастет в $2^2 = 4$ раза.

2. Метод долей и уравнений для смешанных документов. Если документ состоит из текста и изображения, а известна доля текста в общем объёме, удобно ввести переменную для общего объёма $V$, выразить объём скана и текста через неё, составить уравнение и найти неизвестный коэффициент. Мини-пример: если текст занимает 50% документа, то объём скана равен объёму текста: $S = T$, и это равенство используется, чтобы выразить $S$ через $V$.

3. Метод расчёта через коэффициенты сжатия. Сжатие на $p\%$ переводится в множитель $(1-p/100)$. Если сжатие меняется, нужно применить новый множитель к новому (пересчитанному по разрешению) несжатому объёму, а не к старому сжатому значению. Мини-пример: сжатие на 30% даёт множитель $0{,}7$; если исходный несжатый объём был $S$, сжатый — $0{,}7S$.

4. Метод пропорций для звука. Формула $V = f \cdot t \cdot i \cdot n$ линейна по каждому параметру, поэтому при изменении частоты в $a$ раз и глубины кодирования в $b$ раз новый объём равен старому, умноженному на $a \cdot b$ (при неизменной длительности и числе каналов). Мини-пример: частота уменьшилась в 1,5 раза, а глубина увеличилась в 2 раза — общий множитель для объёма: $\dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{4}{3}$.

5. Метод расчёта времени передачи через отношение объёма и скорости. Время передачи прямо пропорционально объёму файла и обратно пропорционально пропускной способности канала: $t = V/C$. Если оба параметра меняются, время меняется как произведение коэффициента изменения объёма на обратный коэффициент изменения скорости. Мини-пример: объём вырос в 2 раза, скорость выросла в 8 раз — время передачи изменится в $2/8 = 0{,}25$ раза, то есть уменьшится в 4 раза.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить тип данных в задаче: изображение, текст или звук — от этого зависит, какая формула объёма применяется.
2. Выписать все данные задачи и явно отметить, что известно в абсолютных величинах, а что — только в виде отношений (во сколько раз больше/меньше, на сколько процентов).
3. Ввести переменную для неизвестного базового объёма (например, общий объём документа $V$ или объём файла в первом случае $V_1$), если конкретные числа не даны.
4. Выразить исходные величины (объём текста, объём скана, объём звукового файла) через введённую переменную, используя условие задачи (доли, проценты).
5. Применить формулы масштабирования: для изображений — квадрат коэффициента изменения dpi, для звука — произведение коэффициентов изменения частоты и глубины кодирования.
6. Применить коэффициенты сжатия как отдельный множитель $(1-p/100)$ к соответствующему несжатому объёму.
7. Составить итоговое выражение для новой величины (объёма, доли, времени) и подставить все коэффициенты.
8. Упростить выражение, при необходимости выразить в процентах или перевести единицы измерения (биты в байты, секунды и т.д.).
9. Проверить, что ответ — целое число или число нужного формата, соответствующее требованиям задания.

Разбор примеров

Пример 1. Запись о документе содержит текст и отсканированную копию (150 dpi, сжатие 20%). Текст занимает 50% объёма записи. Найти долю текста, если скан сделан с разрешением 300 dpi и сжатием 40%.

Шаг 1. Введём общий объём исходной записи $V$. Текст $T = 0{,}5V$.

Шаг 2. Поскольку текст занимает 50%, скан (сжатый) тоже занимает 50%: сжатый объём скана $= 0{,}5V$.

Шаг 3. Пусть несжатый объём скана при 150 dpi равен $S$. Сжатие на 20% даёт множитель $0{,}8$, значит: $$S \cdot 0{,}8 = 0{,}5V \;\Rightarrow\; S = 0{,}625V.$$

Шаг 4. Новое разрешение 300 dpi в 2 раза больше 150 dpi. Несжатый объём растёт как квадрат коэффициента: $$S' = S \cdot 2^2 = 4 \cdot 0{,}625V = 2{,}5V.$$

Шаг 5. Новое сжатие 40% даёт множитель $0{,}6$: $$S'_{сж} = 2{,}5V \cdot 0{,}6 = 1{,}5V.$$

Шаг 6. Новый общий объём записи: $$V_{нов} = T + S'_{сж} = 0{,}5V + 1{,}5V = 2V.$$

Шаг 7. Доля текста в новом объёме: $$\frac{T}{V_{нов}} \cdot 100\% = \frac{0{,}5V}{2V} \cdot 100\% = 25\%.$$

Ответ: 25.

Пример 2. Аналогичная задача: исходно 200 dpi, сжатие 40%, текст — 50%. Найти долю текста при 300 dpi и сжатии 60%.

Шаг 1. $T = 0{,}5V$. Сжатый скан также $= 0{,}5V$.

Шаг 2. Множитель сжатия 40% равен $0{,}6$, значит несжатый объём скана: $$S \cdot 0{,}6 = 0{,}5V \;\Rightarrow\; S = \frac{5V}{6}.$$

Шаг 3. Коэффициент изменения разрешения: $300/200 = 1{,}5$. Несжатый объём вырастет в $1{,}5^2 = 2{,}25$ раза: $$S' = 2{,}25 \cdot \frac{5V}{6} = 1{,}875V.$$

Шаг 4. Новое сжатие 60% даёт множитель $0{,}4$: $$S'_{сж} = 1{,}875V \cdot 0{,}4 = 0{,}75V.$$

Шаг 5. Новый общий объём: $$V_{нов} = 0{,}5V + 0{,}75V = 1{,}25V.$$

Шаг 6. Доля текста: $$\frac{0{,}5V}{1{,}25V} \cdot 100\% = 40\%.$$

Ответ: 40.

Пример 3. Музыкальный фрагмент оцифрован без сжатия и передан в город А за 30 секунд. Повторная оцифровка — разрешение (глубина кодирования) в 2 раза выше, частота дискретизации в 1,5 раза меньше. Файл передан в город Б, пропускная способность канала в 4 раза выше, чем в город А. Найти время передачи в город Б.

Шаг 1. Обозначим объём первого файла $V_1$, пропускную способность канала А — $C_1$. Время передачи: $$t_1 = \frac{V_1}{C_1} = 30 \text{ с}.$$

Шаг 2. Новый объём файла $V_2$ связан со старым через изменение частоты и глубины кодирования (длительность и число каналов не меняются). Глубина выросла в 2 раза, частота уменьшилась в 1,5 раза: $$V_2 = V_1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{1{,}5} = V_1 \cdot \frac{4}{3}.$$

Шаг 3. Пропускная способность канала Б: $C_2 = 4 C_1$.

Шаг 4. Время передачи в город Б: $$t_2 = \frac{V_2}{C_2} = \frac{\frac{4}{3}V_1}{4C_1} = \frac{V_1}{3C_1} = \frac{t_1}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{ с}.$$

Ответ: 10.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают возводить коэффициент dpi в квадрат. Разрешение влияет на изображение по двум измерениям, поэтому линейное увеличение dpi даёт квадратичный рост объёма — это самая частая потеря баллов в задачах про сканирование.
• Путают порядок применения сжатия и масштабирования. Сначала нужно пересчитать несжатый объём по новому разрешению, и только потом применять новый коэффициент сжатия — иначе результат будет неверным.
• Неверно трактуют «сжатие на p%». Это означает, что итоговый объём составляет $(100-p)\%$ от исходного, а не что он уменьшился в $p$ раз или стал равен $p\%$ без вычитания из ста.
• Забывают, что при расчёте доли текста меняется знаменатель. Общий объём записи после замены скана — это не тот же $V$, что и раньше, а новая сумма текста и нового скана; нужно пересчитать 100% заново.
• Путают частоту дискретизации и глубину кодирования в звуковых задачах — это разные параметры формулы, и перепутанные коэффициенты дают неверный ответ.
• Не учитывают обратную зависимость времени передачи от пропускной способности. Увеличение скорости канала уменьшает время передачи, а не увеличивает — при поспешном чтении условия можно перепутать направление.
• Ошибки в арифметике с дробями и процентами. Задачи часто требуют работы с дробными коэффициентами (1,5; 0,4; 4/3), и механическая ошибка в вычислениях — частая причина неверного ответа при правильном понимании метода.

Как готовиться

Начните с чёткого заучивания трёх базовых формул — объём изображения, объём текста, объём звука — и формулы времени передачи через объём и скорость. Не просто запомните буквы, а проговорите словами, что означает каждая переменная, чтобы не путать частоту с глубиной кодирования или разрешение с глубиной цвета.

Отработайте отдельно навык работы с отношениями: тренируйтесь быстро переводить фразы «в k раз больше», «на p% меньше», «сжатие на p%» в математические коэффициенты. Решите подряд десяток задач, где числа не даны явно, а объём приходится обозначать переменной — это снимает страх перед «безцифровыми» условиями.

Особое внимание уделите задачам с двумя типами данных (текст плюс изображение, звук плюс канал передачи) — именно они чаще всего встречаются в реальном варианте. Разбирайте их по шагам из алгоритма выше, не пропуская промежуточные записи: полное пошаговое решение снижает риск арифметической ошибки.

После того как методы усвоены, потренируйтесь решать задачи на время — засекайте, укладываетесь ли вы в 2–3 минуты на одну задачу этого типа, поскольку на экзамене важна скорость. Регулярно возвращайтесь к разобранным примерам и пробуйте решить их заново без подсказок через несколько дней — это закрепляет понимание квадратичной зависимости от dpi и линейной зависимости объёма звука от частоты и глубины кодирования.