Задание 15 ЕГЭ, информатика: Числовые отрезки

Обозначим $(x \in A) = A$, $(x \in B) = B$, $(x \in C) = C$ для краткости.

Шаг 1: Преобразуем импликацию. Исходное выражение $\neg A \to (B \equiv C)$ преобразуется по правилу $P \to Q = \neg P \vee Q$: $$\neg A \to (B \equiv C) = A \vee (B \equiv C)$$ Почему так? Импликация ложна только когда посылка истинна, а следствие ложно. Это эквивалентно: либо посылка ложна (то есть $A$ истинно), либо следствие истинно.

Шаг 2: Найдём, где истинна эквивалентность $B \equiv C$. Эквивалентность истинна, когда оба операнда имеют одинаковое значение (оба истинны или оба ложны):

• $B$ истинно на $[22; 40]$, $C$ истинно на $[32; 50]$
• Оба истинны на пересечении: $[32; 40]$
• Оба ложны вне объединения: $(-\infty; 22] \cup [50; +\infty)$

Итак, $B \equiv C$ истинно на $(-\infty; 22] \cup [32; 40] \cup [50; +\infty)$.

Шаг 3: Найдём, где нужна истинность $A$. Дизъюнкция $A \vee (B \equiv C)$ должна быть истинна при любом $x$. Значит, там, где $B \equiv C$ ложна, $A$ обязательно должна быть истинна.

$B \equiv C$ ложна на $(22; 32) \cup (40; 50)$.

Поэтому $A$ должно содержать весь отрезок $(22; 50)$.

Шаг 4: Найдём минимальную длину $A$. Наименьший отрезок, содержащий $(22; 50)$ — это сам отрезок $[22; 50]$ (замыкание интервала).

Его длина: $50 - 22 = 28$.